Sistemas de Rotación y Ribbon Graphs
Teoría de Grafos Topológicos
Sistemas de Rotación y Ribbon Graphs
Un enfoque combinatorio para entender encajes de grafos en superficies orientables.
Sobre este proyecto
Los sistemas de rotación son pares de permutaciones \((\sigma, \rho)\) que codifican completamente un encaje celular de un grafo en una superficie orientable. Este proyecto explora la correspondencia biunívoca entre sistemas de rotación y ribbon graphs, y desarrolla su aplicación al estudio de los espacios lente mediante el polinomio de Bollobás-Riordan.
Idea principal
Un sistema de rotación \((\sigma, \rho)\) contiene toda la información necesaria para:
- Reconstruir el grafo subyacente y el orden cíclico de aristas en cada vértice
- Calcular las caras mediante \(\varphi = \rho\sigma\) y obtener el género de la superficie
- Construir invariantes topológicos que distinguen encajes no equivalentes
Resultado fundamental: Álgebra de permutaciones ↔︎ Topología de superficies
Contenido
1. Sistemas de Rotación
Fundamentos combinatorios de los grafos encajados en superficies orientables: definición de sistemas de rotación y ribbon graphs, el Teorema de Heffter-Edmonds, cálculo de invariantes topológicos (\(V, E, F\), género, característica de Euler) y operaciones fundamentales (dualidad, contracción, homología). Se incluye el Polinomio de Bollobás-Riordan como generalización del polinomio de Tutte que detecta la topología del encaje mediante la variable \(z\).
Capítulos: Introducción · Mapas Combinatorios · Invariantes · Equivalencia · Ejemplos · Operaciones · Polinomio BR · BR del Diagrama de Poincaré
2. Espacios Lente
Aplicación de la teoría a los espacios lente \(L(p,q)\): sus grafos de Heegaard \(G(p;\pm 1,\pm q)\) como grafos circulantes de doble lazo encajados en el toro, la lattice de ciclos \(\Lambda_{p,q}\) y su geometría, y la estructura del polinomio BR en género \(1\). Se estudia cómo los coeficientes del polinomio codifican la forma \(L\) asociada al grafo, permitiendo recuperar la clase de homeomorfismo del espacio lente desde invariantes combinatorios puros.
Capítulos: Espacios Lente y Grafos de Heegaard · Grafos Circulantes · Lattice de Ciclos · Estructura del Polinomio BR
Simulador BR de Espacios Lente
Base de datos interactiva con los polinomios de Bollobás-Riordan de todos los espacios lente \(L(p,q)\) para \(p \leq 20\), calculados con cómputo de alto rendimiento. Permite explorar los coeficientes con filtros por exponente y abre el visualizador gráfico de cada grafo \(G(p;\pm 1,\pm q)\) sobre el toro fundamental.
Herramientas
- SageMath 10.7 — Cálculos con
RibbonGraph,PermutationGroupElement - Python 3.13 — Scripts de análisis, cálculo paralelo y visualización
- Quarto — Documentación interactiva con bloques de código ejecutables
Referencias
- Gross, J. L., & Tucker, T. W. (1987). Topological Graph Theory
- Lando, S. K., & Zvonkin, A. K. (2004). Graphs on Surfaces
- Edmonds, J. (1960). A combinatorial representation for polyhedral surfaces
- Bollobás, B., & Riordan, O. (2002). A polynomial of graphs on surfaces. Mathematische Annalen
2026