2. Mapas Combinatorios
De las permutaciones a la Superficie
En la sección anterior definimos el sistema de rotación \((\sigma, \rho)\). Es frecuente interpretar estas permutaciones como simples instrucciones para dibujar un grafo preexistente; sin embargo, esa interpretación es parcial.
En la topología combinatoria (y en el modelo de Mapas de Tutte), el par \((\sigma, \rho)\) contiene toda la información topológica. El encaje queda determinado de manera unívoca:
- Las permutaciones definen la conectividad (el grafo).
- Las permutaciones definen las fronteras (las caras).
- Las permutaciones definen la superficie cerrada (el género).
Axiomática de los Mapas Combinatorios
Hasta ahora nos hemos apoyado en la intuición geométrica de “dibujar grafos”. A continuación formalizamos el encaje para que no dependa de la representación gráfica, sino de reglas combinatorias precisas.
Los Axiomas de Tutte
Sea \(D\) un conjunto finito de elementos abstractos llamados dardos (o semiaristas).
Un Mapa Combinatorio es una terna \(M = (D, \sigma, \rho)\) que satisface los siguientes tres axiomas:
- Axioma de la Arista (\(\rho\)): \(\rho\) es una permutación de los elementos de \(D\) tal que \(\rho^2 = \text{id}\) y \(\rho(d) \neq d\) para todo \(d \in D\).
- Interpretación: \(\rho\) empareja los dardos; cada par define una arista.
- Axioma del Vértice (\(\sigma\)): \(\sigma\) es una permutación arbitraria de \(D\).
- Interpretación: Los ciclos de \(\sigma\) agrupan los dardos; cada ciclo define un vértice.
- Axioma de Conectividad: El grupo de permutaciones generado por \(\langle \sigma, \rho \rangle\) actúa transitivamente sobre \(D\).
- Interpretación: La acción transitiva garantiza que la estructura resultante sea conexa.
En la sección anterior introdujimos el concepto de sistema de rotación como la pareja \((\sigma, \rho)\). En rigor, el conjunto \(D\) puede deducirse de los dominios de las permutaciones \(\sigma\) y \(\rho\), por lo que especificarlo explícitamente es redundante.
Por tanto, las siguientes notaciones son equivalentes y se refieren al mismo objeto matemático:
- Sistema de rotación: \((\sigma, \rho)\)
- Mapa combinatorio: \((D, \sigma, \rho)\)
En este curso usaremos ambas terminologías indistintamente, siendo conscientes de que describen exactamente la misma estructura.
Los Elementos Derivados
A partir de estos axiomas, definimos los elementos topológicos. En lugar de depender de la representación visual, usamos una presentación puramente combinatoria inducida por las permutaciones.
- Vértices (\(V\)): El conjunto de vértices \(V(M)\) se define como el conjunto de órbitas (ciclos) de la permutación \(\sigma\). \[V(M) = D / \langle \sigma \rangle\]
- Aristas (\(E\)): El conjunto de aristas \(E(M)\) se define como el conjunto de órbitas de la permutación \(\rho\). \[E(M) = D / \langle \rho \rangle\]
- Caras (\(F\)): Definimos la permutación de caras \(\varphi\) como la composición \(\varphi = \rho \sigma\) (en notación de SageMath). El conjunto de caras \(F(M)\) se define como el conjunto de órbitas de \(\varphi\). \[F(M) = D / \langle \varphi \rangle\]
Construcción Geométrica: La Receta de Pegado
Para todo mapa combinatorio \(M = (D, \sigma, \rho)\), existe una única superficie compacta orientable cerrada \(S\) (salvo homeomorfismo) y un grafo \(G\) encajado celularmente en \(S\), tal que:
- Los vértices, aristas y caras de \(M\) corresponden biunívocamente a los de \(G \subset S\).
- El género \(g\) de la superficie \(S\) está determinado exactamente por la característica de Euler combinatoria: \[2 - 2g = |V(M)| - |E(M)| + |F(M)|\]
Más allá del teorema abstracto, la realización topológica es un manual de instrucciones. Dado un mapa combinatorio \(M = (D, \sigma, \rho)\), construimos la superficie física paso a paso mediante un proceso de ensamblaje.
Imagina que estamos armando un rompecabezas tridimensional:
Paso 1: Los Vértices (Discos)
Por cada ciclo de la permutación \(\sigma\), recortamos un disco topológico (un círculo de material).
- Si el ciclo tiene longitud \(k\), marcamos \(k\) segmentos de arco en el borde del disco.
- Estos segmentos corresponden a los dardos.
- Los etiquetamos siguiendo el orden cíclico que nos dicta \(\sigma\) (leyendo, por convención, en sentido antihorario).
Paso 2: Las Aristas (Cintas)
Por cada ciclo de la permutación \(\rho\) (que siempre es de la forma \((d_i, d_j)\)), recortamos una cinta rectangular o banda.
- Pegamos un extremo de la cinta en el dardo \(d_i\).
- Pegamos el otro extremo en el dardo \(d_j\).
- Regla de Orientación: Pegamos la cinta sin torcerla (para superficies orientables), asegurando que la orientación de los discos de los vértices se propague suavemente a través de la arista.
Al terminar el Paso 2, tenemos lo que llamamos un Ribbon Graph (o grafo de cintas): un esqueleto con agujeros.
\(\rho=(1,4)(2,5)(3,6)\). La permutación \(\rho\sigma\) determina que la superficie resultante es una esfera.
Paso 3: Las Caras (Parches)
Ahora la superficie tiene “huecos” o fronteras (las regiones negras en la figura). Para cerrarla, necesitamos pegar discos adicionales (las caras). Pero, ¿dónde pegamos estos discos? Aquí entra nuestro algoritmo de trazado.
El Algoritmo de Trazado de Caras
Para descubrir la forma de los huecos que debemos parchar, caminamos por el borde del Ribbon Graph que acabamos de construir.
Imagina que eres un viajero caminando por el engrosamiento del grafo. Tu regla de oro es: “Mantener siempre el grafo a tu izquierda”.
Esto define la permutación de las caras, que en nuestra notación es la composición:
\[ \varphi = \rho \sigma \]
En la convención de SageMath para ribbon graphs, esta es la fórmula utilizada internamente por el método boundary() de la clase RibbonGraph.
En este curso y en SageMath, la multiplicación de permutaciones se lee de izquierda a derecha. La expresión \(\varphi = \rho \sigma\) significa: primero aplicamos \(\rho\) y luego aplicamos \(\sigma\).
Algunos textos usan \(\varphi = \rho \sigma^{-1}\), \(\varphi = \sigma^{-1} \rho\), o \(\varphi = (\sigma\rho)^{-1}\). Todas estas convenciones dan el mismo número de caras, pero los ciclos específicos pueden diferir. Usamos \(\varphi = \rho \sigma\) para coincidir exactamente con la implementación de SageMath y simplificar los cálculos (no hay que invertir σ).
La Receta Geométrica: Cruzar y Girar
Para encontrar el ciclo de una cara, partimos de un dardo \(d\) y repetimos:
- Cruzar (\(\rho\)): Atravesamos la cinta (arista) para llegar al vértice vecino.
- Geométricamente: Viajamos por el borde de la cinta hasta el otro lado.
- Girar (\(\sigma\)): Nos movemos a lo largo del borde del vértice hasta el siguiente dardo disponible.
- Geométricamente: Seguimos el contorno del disco del vértice.
El camino se cierra cuando volvemos al dardo original. Este ciclo define el perímetro exacto donde pegaremos un disco para crear una cara.
La Unicidad del Encaje
Una pregunta fundamental en topología es: ¿Podemos dibujar el mismo mapa combinatorio en superficies distintas?
La respuesta constructiva es NO.
Observa el proceso anterior:
- Los discos de los vértices son fijos (dados por \(\sigma\)).
- Las conexiones de las cintas son fijas (dadas por \(\rho\)).
- Por tanto, los “huecos” que quedan están rígidamente determinados por la geometría del ensamblaje (\(\varphi = \rho \sigma\)).
Al pegar los discos en los huecos (Paso 3), cerramos la superficie. No hay libertad de elección; el mapa combinatorio es el plano de construcción de la superficie.
El género \(g\) de la superficie resultante no es una propiedad que “elegimos”, sino una consecuencia inevitable de las permutaciones. Está forzado por la fórmula de Euler: \[2 - 2g = |Ciclos(\sigma)| - |Ciclos(\rho)| + |Ciclos(\rho\sigma)|\]
Un sistema de rotación \((\sigma, \rho)\) pertenece a una y solo una superficie topológica.
Ejemplo: El Impacto de \(\sigma\) en la Topología
Consideraremos dos mapas combinatorios distintos que comparten el mismo conjunto de dardos y la misma estructura de aristas, pero difieren en su permutación \(\sigma\). Este ejemplo ilustra cómo una pequeña variación en \(\sigma\) puede cambiar radicalmente la superficie de encaje.
Ambos mapas tienen: - Conjunto de dardos: \(D = \{1, 2, 3, 4\}\) - Estructura de aristas: \(\rho = (1, 2)(3, 4)\) (dos aristas, cada una un lazo)
La diferencia está en el orden de rotación alrededor del único vértice.
Mapa A: Encaje en la Esfera (\(g=0\))
Consideremos el mapa combinatorio: \[ M_A = (D, \sigma_A, \rho) \quad \text{donde} \quad \sigma_A = (1, 2, 3, 4) \]
Calculamos \(\varphi_A = \rho \sigma_A\):
- Paso a paso (Cruzar \(\to\) Girar):
- \(1 \xrightarrow{\rho} 2 \xrightarrow{\sigma} 3\). (Sigue \(1 \to 3\))
- \(3 \xrightarrow{\rho} 4 \xrightarrow{\sigma} 1\). (Cierra el ciclo \((1, 3)\))
- \(2 \xrightarrow{\rho} 1 \xrightarrow{\sigma} 2\). (Ciclo cerrado \((2)\))
- \(4 \xrightarrow{\rho} 3 \xrightarrow{\sigma} 4\). (Ciclo cerrado \((4)\))
Resultado: \(\varphi = (1, 3)(2)(4)\). Tenemos \(F=3\) caras (Roja, Verde, Azul).
Prueba el código directamente aquí (haz clic en “Ejecutar”):
Mapa B: Encaje en el Toro (\(g=1\))
Consideremos ahora un mapa combinatorio diferente: \[ M_B = (D, \sigma_B, \rho) \quad \text{donde} \quad \sigma_B = (1, 3, 2, 4) \]
Notemos que \(\sigma_B\) intercala las semiaristas en un orden distinto. Calculamos \(\varphi_B = \rho \sigma_B\):
- Paso a paso (Cruzar \(\to\) Girar):
- \(1 \xrightarrow{\rho} 2 \xrightarrow{\sigma} 4\).
- \(4 \xrightarrow{\rho} 3 \xrightarrow{\sigma} 2\).
- \(2 \xrightarrow{\rho} 1 \xrightarrow{\sigma} 3\).
- \(3 \xrightarrow{\rho} 4 \xrightarrow{\sigma} 1\).
Resultado: \(\varphi = (1, 4, 2, 3)\). Tenemos \(F=1\) cara (Morada).
Prueba el código directamente aquí (haz clic en “Ejecutar”):
Hemos visto dos mapas combinatorios distintos:
- Mapa \(M_A\): \((D, \sigma_A=(1,2,3,4), \rho=(1,2)(3,4))\) → Superficie: Esfera (\(g=0\), \(F=3\) caras)
- Mapa \(M_B\): \((D, \sigma_B=(1,3,2,4), \rho=(1,2)(3,4))\) → Superficie: Toro (\(g=1\), \(F=1\) cara)
Aunque comparten el mismo conjunto de dardos \(D\) y la misma estructura de aristas \(\rho\), una ligera variación en el sistema de rotación \(\sigma\) (una transposición en el orden cíclico) produce superficies topológicamente distintas.
Este ejemplo demuestra que \(\sigma\) no es simplemente una “forma de dibujar” el grafo, sino que determina la topología intrínseca de la superficie de encaje.
Ejercicios
Este ejercicio explora qué sucede cuando la permutación \(\sigma\) tiene puntos fijos (ciclos de longitud 1).
Considera el mapa combinatorio más simple posible que no es un lazo: un segmento con dos extremos distintos.
- Dardos: \(D = \{1, 2\}\)
- Aristas: \(\rho = (1, 2)\) (los dardos 1 y 2 forman la única arista).
- Vértices: Queremos que el dardo 1 esté en un vértice y el dardo 2 en otro vértice distinto. Por tanto, \(\sigma\) debe ser la permutación identidad: \[\sigma = (1)(2)\] (Nota: Esto significa que \(\sigma(1)=1\) y \(\sigma(2)=2\). Geométricamente, son vértices terminales o “hojas”).
Tarea: Determine la realización geométrica de este mapa combinatorio.
Toma el sistema de rotación:
- \(\sigma = (1,3,5,2,4,6)\)
- \(\rho = (1,2)(3,4)(5,6)\)
Calcula manualmente la permutación de caras \(\varphi = \rho\sigma\) y determina cuántas caras tiene este encaje.
Considera el bouquet de 3 círculos: un vértice con 3 self-loops (6 semiaristas). \(\rho\) está fijo como \((1,2)(3,4)(5,6)\).
- Usa el visualizador para probar diferentes permutaciones \(\sigma\) (por ejemplo, \((1,2,3,4,5,6)\) vs \((1,6,2,5,3,4)\)).
- Analiza cómo cambia la conectividad de las cintas azules.
- Determina si existe un \(\sigma\) que produzca una superficie con solo 1 cara.
Vamos a explorar qué tan “raro” es obtener una esfera cuando conectamos aristas al azar. Considera un grafo con 1 vértice y 5 lazos (\(|D|=10\)).
- Define \(\rho = (1,2)(3,4)...(9,10)\).
- Escribe un script que genere permutaciones \(\sigma\) aleatorias que consistan en un solo ciclo de longitud 10 (garantizando 1 vértice).
- Tip: Puedes generar una lista aleatoria
pde números del 1 al 10 y crear el ciclo:sigma = PermutationGroupElement([tuple(p)]).
- Tip: Puedes generar una lista aleatoria
- Ejecuta un bucle de 1000 iteraciones. En cada paso, calcula el género del mapa resultante usando
RibbonGraph(sigma, rho).genus(). - Análisis:
- ¿Cuáles son los géneros mínimo y máximo que observas?
- ¿Con qué frecuencia aparece el género 0 (esfera)? ¿Es el caso más común o el más raro?
Nota: Este ejercicio demuestra que, combinatoriamente, las superficies de género alto son mucho más abundantes que la esfera.
Resumen
- Axiomática: Un mapa combinatorio se define formalmente como una terna \((D, \sigma, \rho)\) que satisface axiomas algebraicos precisos, independientes del dibujo.
- Teorema de Realización: Existe una correspondencia biunívoca entre mapas combinatorios y superficies orientables con grafos encajados.
- Algoritmo de Trazado: La permutación de caras se calcula como \(\varphi = \rho \sigma\) (convención SageMath).
- Interpretación Geométrica: Las caras se recorren siguiendo la regla “Cruzar (\(\rho\)) y Girar (\(\sigma\))”.
- Unicidad: El par \((\sigma, \rho)\) determina unívocamente la topología de la superficie (el género es una consecuencia, no una elección).
En la siguiente sección utilizaremos este conteo de caras para calcular los invariantes topológicos (característica de Euler y género) directamente desde las permutaciones.
Referencias
- [Tutte1979] W. T. Tutte, Combinatorial Oriented Maps, Canadian Journal of Mathematics, 31(5):986-1004, 1979. DOI:10.4153/CJM-1979-091-3
Publicado el 09 de febrero de 2026