Espacios Lente y sus Grafos de Heegaard
En esta sección conectamos tres niveles de descripción de un espacio lente:
- su descomposición de Heegaard de género 1,
- su grafo de Heegaard como grafo abstracto,
- su grafo de Heegaard como grafo encajado en el toro.
La idea central es que, para espacios lente, el grafo de Heegaard ya contiene toda la información topológica relevante.
1) Caso lente: descomposición de Heegaard de género 1
Un espacio lente \(L(p,q)\) (con \(p \ge 1\) y \(\gcd(p,q)=1\)) se obtiene al pegar dos toros sólidos a lo largo de su frontera. En el diagrama estándar de Heegaard de género 1 aparecen:
- una curva meridiana \(\alpha\) en el toro,
- una curva simple cerrada \(\beta\) de pendiente \(p/q\).
Estas curvas se cortan en exactamente \(p\) puntos.
Dos espacios lente \(L(p,q)\) y \(L(p',q')\) son homeomorfos si y sólo si:
- \(p = p'\), y
- \(q' \equiv \pm q^{\pm 1}\pmod p\).
Este criterio será el puente con la clasificación por grafos.
2) Del diagrama al grafo circulante
Recordemos la definición.
Definición (grafo circulante). Sea \(n \ge 1\) y \(S \subset \mathbb{Z}_n \setminus \{0\}\). El circulante \(C_n(S)\) tiene vértices \(\mathbb{Z}_n\), y \(i,j\) son adyacentes si y sólo si \(i-j \pmod n \in S\).
Para el diagrama estándar de \(L(p,q)\), el grafo de Heegaard asociado es
\(C_p(\pm 1, \pm q)\).
Interpretación combinatoria:
- los \(p\) vértices son los \(p\) puntos de intersección \(\alpha \cap \beta\),
- una familia de aristas conecta \(i\) con \(i\pm1 \pmod p\),
- la otra familia conecta \(i\) con \(i\pm q \pmod p\).
En consecuencia, el grafo abstracto tiene:
- \(V = p\),
- \(E = 2p\),
- valencia 4 en cada vértice.
3) Clasificación abstracta: el grafo ya detecta el espacio
Sean \(p \ge 3\) y \(q,q'\) coprimos con \(p\).
\(L(p,q) \cong L(p,q')\) si y sólo si \(C_p(\pm1,\pm q) \cong C_p(\pm1,\pm q')\) como grafos abstractos.
Idea de la demostración
Usamos un hecho conocido para circulantes de dos saltos (\(S=\{\pm a,\pm b\}\)):
\(C_p(S) \cong C_p(S')\) si y sólo si \(S' = aS\) para algún \(a \in \mathbb{Z}_p^\times\).
Aplicando esto a \(S=\{\pm1,\pm q\}\) y \(S'=\{\pm1,\pm q'\}\):
\[ C_p(\pm1,\pm q) \cong C_p(\pm1,\pm q') \Longleftrightarrow \{\pm1,\pm q\} = \{\pm a,\pm aq'\} \] para algún \(a\) invertible módulo \(p\).
Ahora hay dos posibilidades esenciales:
- Si \(a \equiv \pm1 \pmod p\), entonces \(q' \equiv \pm q \pmod p\).
- Si \(a \equiv \pm q \pmod p\), entonces se fuerza \(qq' \equiv \pm1 \pmod p\), es decir \(q' \equiv \pm q^{-1} \pmod p\).
Por tanto,
\[ C_p(\pm1,\pm q) \cong C_p(\pm1,\pm q') \Longrightarrow q' \equiv \pm q^{\pm1}\pmod p. \]
Y por la clasificación clásica de espacios lente, eso equivale a \(L(p,q) \cong L(p,q')\).
La implicación inversa se obtiene eligiendo \(a \in \{\pm1,\pm q'\}\) según el caso para producir la igualdad de conjuntos de conexiones.
4) Clasificación como grafos encajados en el toro
Además del grafo abstracto, el diagrama de Heegaard determina un encaje celular en un toro.
Para espacios lente, este encaje estándar es esencialmente único (una vez fijado el diagrama estándar). Con esto, se obtiene el análogo encajado:
Si \(L(p,q)\) y \(L(p,q')\) son homeomorfos, entonces sus grafos de Heegaard encajados \(G_1 \subset F_1\) y \(G_2 \subset F_2\) son equivalentes como grafos celulares en sus toros de Heegaard.
Idea de la demostración
Queremos probar una afirmación precisa: para todo \(p \ge 3\) y todo \(q\) coprimo con \(p\), el grafo \(G=C_p(\pm1,\pm q)\) tiene exactamente dos encajes celulares en el toro como mapa orientado; estos dos se obtienen uno del otro invirtiendo la orientación.
El punto importante es que aquí sólo nos interesan los encajes toroidales. No hace falta clasificar todos los demás encajes posibles del grafo en otras superficies.
El grafo \(G\) tiene \(V=p\) vértices y \(E=2p\) aristas. Si un sistema de rotación produce un encaje en el toro, entonces su característica de Euler debe satisfacer \[ V-E+F=0, \] y por tanto necesariamente \[ F=p. \] Así, el problema consiste en determinar qué sistemas de rotación dan exactamente \(p\) caras.
Como el grafo es circulante, la acción de \(\mathbb{Z}_p\) transporta la rotación de un vértice a todos los demás. Por eso basta estudiar la rotación local en un vértice.
Si \(q \not\equiv \pm1 \pmod p\), los cuatro saltos \(\pm1,\pm q\) son distintos. En este caso, la condición \(F=p\) fuerza exactamente dos órdenes cíclicos: \[ (+1,+q,-1,-q) \qquad\text{y}\qquad (+1,-q,-1,+q). \] Estos dos sistemas son inversos entre sí, luego representan el mismo encaje no orientado y los dos posibles encajes orientados.
Si \(q \equiv \pm1 \pmod p\), el grafo es un ciclo con aristas dobles. La teoría de ribbon graphs sigue aplicando sin cambios: un sistema de rotación en este multigrafo determina un encaje orientado. Lo que cambia es que ahora, en cada vértice, las cuatro semiaristas vienen en dos pares de aristas paralelas, uno hacia \(i+1\) y otro hacia \(i-1\).
Para obtener un encaje toroidal con \(F=p\), en cada vértice esas dos parejas deben aparecer alternadas en el orden cíclico. Si dos aristas paralelas consecutivas quedan juntas, las caras se pegan de otra manera y ya no se obtiene el mosaico cuadrilateral del toro. Por tanto, salvo intercambio de las dos aristas paralelas dentro de cada pareja, sólo quedan dos órdenes locales toroidales: \[ (a_1,b_1,a_2,b_2) \qquad\text{y}\qquad (a_1,b_2,a_2,b_1), \] donde \(a_1,a_2\) son las dos aristas hacia \(i+1\) y \(b_1,b_2\) las dos aristas hacia \(i-1\). Estos dos órdenes son inversos entre sí, luego producen exactamente los dos encajes toroidales orientados.
En ambos casos, la conclusión es la misma: hay exactamente dos encajes celulares en el toro como mapas orientados, y un único encaje si no se distingue la orientación.
Prueba el código directamente aquí (haz clic en “Ejecutar”):
Este experimento no intenta recorrer todos los sistemas de rotación posibles, porque eso hace más lenta la ejecución en SageCell. En cambio, muestra unas cuantas rotaciones locales representativas para el caso \(L(3,2)\) y permite verificar cuáles producen encajes toroidales. La columna “Género” se obtiene de la fórmula \[ \chi = V-E+F = 2-2g, \] así que:
- \(\chi=0\) corresponde al toro (\(g=1\)),
- \(\chi=2\) corresponde a la esfera (\(g=0\)).
5) Consecuencia: clasificación vía grafos de Heegaard
Como síntesis de los dos teoremas anteriores:
Dos espacios lente \(L(p,q)\) y \(L(p,q')\) son homeomorfos si y sólo si sus grafos de Heegaard son equivalentes.
Mensaje conceptual:
- en general, un grafo encajado puede contener más información que su versión abstracta,
- pero en el caso lente, esa información extra no aporta nuevas clases de homeomorfismo.
Referencias
Frías, J., Gómez-Larrañaga, J. C., León-Medina, J. L., & Manjarrez-Gutiérrez, F. (2025). 3-manifold polynomials. arXiv:2510.06651 [math.GT]. https://doi.org/10.48550/arXiv.2510.06651
Muzychuk, M., Klin, M., & Pöschel, R. (2001). The isomorphism problem for circulant graphs via schur ring theory. En Codes and Association Schemes (DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, vol. 56). AMS-DIMACS. https://bookstore.ams.org/dimacs-56
Brody, E.J. (1960). The topological classification of the lens spaces. Annals of Mathematics, 71(1), 163–184. https://doi.org/10.2307/1969884