2.3 Lattice de Ciclos de L(p,q)
Clasificacion aritmetica y ejemplo completo L(17,3)
En este apartado estudiamos exclusivamente el lattice de ciclos asociado al espacio lente \(L(p,q)\). El punto de partida es aritmetico: la estructura topologica queda codificada por una reticula entera y por su clase bajo simetrias de \(GL(2,\mathbb Z)\).
Definicion del lattice de ciclos
Para \(p \ge 1\) y \(\gcd(p,q)=1\), definimos
\[ \Lambda_{p,q} = \{(a,b)\in\mathbb Z^2 : a+bq\equiv 0\pmod p\}. \]
Interpretacion operativa:
- El par \((a,b)\) representa una combinacion de pasos en la red de doble lazo \(G(p;\pm 1, \pm q)\).
- La congruencia \(a+bq\equiv 0\) significa que ese desplazamiento regresa al mismo vertice modulo \(p\).
- Por eso \(\Lambda_{p,q}\) se ve como la reticula de “ciclos cerrados” en coordenadas enteras.
Para decidir si \((a,b)\) esta en \(\Lambda_{p,q}\), solo se evalua \(a+bq\) modulo \(p\).
Ejemplo para \((p,q)=(17,3)\):
- \((14,1)\): \(14+1\cdot 3=17\equiv 0\) entonces \((14,1)\in\Lambda_{17,3}\).
- \((8,3)\): \(8+3\cdot 3=17\equiv 0\) entonces \((8,3)\in\Lambda_{17,3}\).
- \((5,1)\): \(5+1\cdot 3=8\not\equiv 0\) entonces \((5,1)\notin\Lambda_{17,3}\).
Ejemplo guiado: L(17,3)
Tomamos
\[ \Lambda_{17,3}= \{(a,b)\in\mathbb Z^2 : a+3b\equiv 0\pmod{17}\}. \]
Dos vectores utiles del lattice son
\[ \nu_1=(14,1), \qquad \nu_2=(-3,1). \]
El determinante
\[ \det\begin{pmatrix}14 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=14(1)-1(-3)=17, \]
coincide con \(p\), como debe ocurrir en una base de indice \(p\).
Tambien aparece naturalmente el vector
\[ \nu_3=(8,3), \quad 8+3\cdot 3=17. \]
Se verifica de forma directa que:
- \(\nu_1,\nu_2,\nu_3\in\Lambda_{17,3}\).
- \(\gcd(14,1)=\gcd(-3,1)=\gcd(8,3)=1\) (son primitivos).
- Cada uno recupera el mismo valor de \(q\) (siguiente proposicion).
Recuperar q desde cualquier vector primitivo
Cualquier vector \((a,b)\in\Lambda_{p,q}\) cumple
\[ a+bq\equiv 0\pmod p. \]
Si \(\gcd(b,p)=1\), entonces \(b\) tiene inverso modulo \(p\) y
\[ q\equiv -ab^{-1}\pmod p. \]
La aplicacion
\[ \phi:\{(a,b)\in \Lambda_{p,q}:\gcd(b,p)=1\}\to (\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times, \qquad \phi(a,b)=-ab^{-1}, \]
esta bien definida y es constante. De hecho,
\[ \phi(a,b)\equiv q\pmod p \]
para todo \((a,b)\) de su dominio.
Demostracion. Como \((a,b)\in\Lambda_{p,q}\), se tiene \(a+bq\equiv 0\pmod p\). Multiplicando por \(b^{-1}\): \(q\equiv -ab^{-1}\pmod p\). No depende de elecciones adicionales. \(\square\)
Todo vector primitivo \((a,b)\in\Lambda_{p,q}\) satisface \(\gcd(b,p)=1\). Si \(p\mid b\), de \(a+bq\equiv 0\) se obtiene \(a\equiv 0\pmod p\), contradiciendo \(\gcd(a,b)=1\).
Conclusion: cualquier vector de una base entera de \(\Lambda_{p,q}\) permite recuperar \(q\).
Comprobacion explicita en L(17,3)
Con \((a,b)=(14,1)\): \[q\equiv -14\cdot 1^{-1}\equiv -14\equiv 3\pmod{17}.\]
Con \((a,b)=(8,3)\) y \(3^{-1}\equiv 6\pmod{17}\): \[q\equiv -8\cdot 6=-48\equiv 3\pmod{17}.\]
Ambos dan el mismo resultado: \(q\equiv 3\).
Simetrias geométricas y orbita \(q ~ \pm q^{\pm1}\)
La clasificacion de espacios lente usa la relacion
\[ q'\equiv \pm q^{\pm1}\pmod p. \]
En el lattice, esto se implementa por matrices de simetria en \(GL(2,\mathbb Z)\) (cambios de signo y permutaciones de coordenadas), es decir, la accion del grupo diedral \(D_4\) sobre \(\mathbb Z^2\).
Si \(q'\equiv \pm q^{\pm1}\pmod p\), existe \(M\in D_4\subset GL(2,\mathbb Z)\) tal que
\[ \Lambda_{p,q'}=M(\Lambda_{p,q}). \]
Idea de demostracion (generadores).
Caso \(q'=-q\): el cambio \((a,b)\mapsto (a,-b)\) transforma \(a+b(-q)\equiv 0\) en \(a-bq\equiv 0\).
Caso \(q'=q^{-1}\): el intercambio \((a,b)\mapsto (b,a)\) transforma \(a+bq\equiv 0\) en \(b+aq^{-1}\equiv 0\).
Como estas operaciones generan la orbita \(\{\pm q^{\pm1}\}\), resulta la afirmacion.
Bajo \(q'\equiv \pm q^{\pm1}\) se conservan:
- Minimos sucesivos en norma \(L_1\).
- La condicion de base \(L_1\)-reducida.
- El multiconjunto \[\{\|u\|_1,\|v\|_1,\|u-v\|_1\}\] para bases reducidas.
Razon: los elementos de \(D_4\) son isometrias de la norma \(L_1\) y preservan determinantes.
Teorema de clasificacion aritmetica
La clase de equivalencia del lattice de ciclos bajo la accion de \(D_4\),
\[ [\Lambda_{p,q}]_{D_4}:=\{M(\Lambda_{p,q})\;:\;M\in D_4\}, \]
determina completamente el tipo de homeomorfismo del espacio lente \(L(p,q)\).
Esquema de prueba.
- Por la proposicion de recuperacion, cada representante \(\Lambda_{p,q'}\) de la clase determina un parametro \(q'\pmod p\).
- Por la proposicion de simetria, si \(\Lambda_{p,q'}=M(\Lambda_{p,q})\) con \(M\in D_4\), entonces \(q'\equiv \pm q^{\pm1}\pmod p\); por tanto la clase \([\Lambda_{p,q}]_{D_4}\) determina exactamente la orbita \(\mathcal O_q=\{\pm q^{\pm1}\}\).
- La clasificacion clasica de espacios lente dice: \[L(p,q)\cong L(p,q')\iff q'\in\mathcal O_q.\]
Luego la clase \([\Lambda_{p,q}]_{D_4}\) determina la clase topologica.
Cierre
El mensaje central de este apartado es:
\[ \text{Lattice de ciclos } + \text{ simetria } D_4 \Longrightarrow \text{clasificacion aritmetica de } L(p,q). \]
Para uso docente, \(L(17,3)\) es un ejemplo excelente porque permite ver en la misma pantalla:
- la ecuacion congruencial del lattice,
- la recuperacion de \(q\) desde vectores,
- y la accion de simetrias que explican la clasificacion.
Ejercicios
En \(\Lambda_{17,3}\) verifica que los vectores
\[ (14,1),\ (11,2),\ (8,3),\ (5,4) \]
son primitivos y pertenecen al lattice. Luego calcula
\[ q\equiv -ab^{-1}\pmod{17} \]
en cada caso y comprueba que todos producen la misma clase modulo \(17\).
Para \(p=17\) y \(q=3\):
- Calcula la orbita \(\mathcal O_q=\{\pm q^{\pm1}\}\).
- Describe de manera explicita cuatro matrices de \(D_4\) que lleven \((a,b)\) a \((a,-b)\), \((-a,b)\), \((b,a)\) y \((-b,a)\).
- Verifica en cada caso que la congruencia del lattice se transforma en un parametro de la orbita.
Considera las bases
\[ B_1=\{(14,1),(-3,1)\},\qquad B_2=\{(8,3),(-9,2)\}. \]
- Verifica que ambas generan subreticulas de indice \(17\).
- Comprueba que ambas estan contenidas en \(\Lambda_{17,3}\).
- Decide si existe \(U\in SL(2,\mathbb Z)\) con \(B_2=B_1U\).